【问题】 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-\left(2k+4\right)x+k^{2}+4k+3=0$.
$(1)$求证：不论$k$取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
$(2)$若此一元二次方程的两根是$Rt\triangle ABC$两直角边$AB$、$AC$的长，斜边$BC$的长为$10$，求$k$的值.

正确答案：$(1)$证明：$\because \triangle =\left[-\left(2k+4\right)\right]^{2}-4(k^{2}+4k+3)$
$=4 \gt 0$，
$\therefore $不论$k$取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
$(2)$$x^{2}-\left(2k+4\right)x+k^{2}+4k+3=0$，
$(x-k-1)\left(x-k-3\right)=0$，
$\therefore x_{1}=k+1 \g

题目解析：

$(1)$先根据判别式的值得到$\Delta =4$，由此根据判别式的意义可得到一元二次方程总有两个不相等的实数根；
$(2)$利用求根公式法解方程得到$x_{1}=k+1 \gt 0$，$x_{2}=k+3 \gt 0$，即$Rt\triangle ABC$两直角边的长为$k+1$和$k+3$，斜边$BC$的长为$10$，然后根据勾股定理得到$\left(k+1\right)^{2}+\left(k+3\right)^{2}=10^{2}$，解方程得到满足条件的$k$的值为$5$.

点评：

本题考查了一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)$的根的判别式$\Delta =b^{2}-4ac$：当$\Delta\ \ \gt 0$，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta =0$，方程有两个相等的实数根；当$\Delta\ \ \lt 0$，方程没有实数根.也考查了勾股定理.